Контрольная работа "Общий курс высшей математики"

Название:
Общий курс высшей математики
Тип работы:
контрольная работа
Размер:
158,8 K
21
Скачать
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Вычисление площади ромба. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители. Нахождение производной функции и асимптот графика. Правила дифференцирования частного произведения и сложной функции.

Краткое сожержание материала:

25

Академия труда и социальных отношений

Курганский филиал

Социально-экономический факультет

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине: «Общий курс высшей математики»

Студент гр. ЗМб 1338

Ст. преподаватель

Курган - 2009

Задание 03

В ромбе ABCD известны координаты вершин А и С и тангенс внутреннего угла С. Найти уравнения диагоналей и сторон, координаты двух других вершин, а также площадь этого ромба, если А(4,2), С(16;18), . Сделать чертеж.

Решение:

Зная координаты вершин А и С запишем уравнение диагонали АС как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

12(y-2)=16(x-4);

12y-24=16х-64

16х-12у-40=0 /:4

4х-3у-10=0 - уравнение диагонали А С в форме общего уравнения прямой.

Перепишем это уравнение в форме уравнения прямой с угловым коэффициентом:

-3y=-10-4х;

3y=4x-10;

y= откуда k А С=

Так как в ромбе диагонали взаимно перпендикулярны, то угловой коэффициент диагонали BD будет равен

КВD =

Само же уравнение диагонали BD найдем как уравнение прямой, проходящей через заданную точку в направлении, определяемом угловым коэффициентом КBD.

В качестве «заданной точки» возьмем точку Е пересечения диагоналей ромба, которая лежит на середине отрезка АС, вследствие чего:

Е (10;10)

Итак, уравнение диагонали BD запишем в виде

у - yE= КВD (x-xE)

y-10= (x-10);

y-10=x+ / 4

4у-40=-3х+30

3х+4у-70=0 - уравнение диагонали BD

Чтобы найти уравнение сторон ромба, надо определить только угловые коэффициенты КАВ = КCD и КВС = КAD прямых, на которых эти стороны лежат, ибо точки, через которые эти прямые проходят, известны - это вершины А и С ромба.

Для определения указанных угловых коэффициентов воспользуемся формулой , позволяющей вычислять тангенс угла ц между двумя заданными прямыми по их угловым коэффициентам К1 и К2; при этом угол ц отсчитывается против часовой стрелки от прямой у = К1х + b1 до прямой у = К2х + b2. Формула оказывается удобной, потому что уравнение диагонали АС уже найдено (и, следовательно, известен ее угловой коэффициент КАС), а положение сторон ромба относительно этой диагонали однозначно определяется внутренними углами А и С, которые равны между собой и для которых по условию известен их тангенс ().

Так диагонали ромба делят его углы пополам, то, положив из формулы для тангенса двойного угла при найдем tg ц:

Положим z = tg ц; тогда , тогда

15 2z = 8 (1-z2)

30z=8-8z2

8z2+30z-8=0 /:2

4z2+15z-4=0

D=152-4 4 (-4)= 225+64=289

z1=;

z2=

Но т.к. угол в ромбе ц всегда острый корень z2=-4 отбрасываем и получаем в итоге, что tg ц =

Угол ц является углом между прямыми ВС и АС, с одной стороны, и прямыми АС и CD - с другой (см. чертеж).

Потому в первом случае по формуле имеем

откуда при то получим

4()=1+;

= /3

16-12 KBC=3+4KBC;

16 KBC=13;

KBC=

Во втором случае по формуле имеем =;

При КАС = получим:

;

4(KcD-)=1+KcD;

4KcD-=1+ KcD / 3;

12KcD-16=3+4KcD;

8KcD =19

KcD=

Так как противоположные стороны ромба параллельны, то тем самым мы определили угловые коэффициенты всех его сторон.

КCD = KAB = ;

KBC = KAD = .

Зная теперь эти угловые коэффициенты и координаты вершин А и С, по уже использовавшимся выше формулам найдем уравнения прямых АВ, CD, BC и AD.

Уравнение АВ: у - уA = KA B (х - хA),

у -2 = (х-4) /8;

8у-16=19х-76;

19 х-8 у-60=0.

Уравнение CD: у - уC= КCD(х - xC)

у -18= ( х-16) / 8;

8у -144=19х-304;

19 х-8 у-160=0.

Уравнение ВС: у - уC= КBC ( х xC);

у -18=( х - 16);

у - 18= х - 13 / 16;

16у -288 = 13х - 208;

13х -16 у +80=0

Уравнение AD: у - уA = КAD( х -xA);

у -2=( х -4);

у -2= х - /16;

16у -32= 13х-52;

13х-16у-20=0

Вершины ромба являются точками пересечения его соответствующих сторон. Поэтому их координаты найдем путем совместного решения уравнений этих сторон.

19х -8у -60 = 0 / (-2)

13х -16у +80= 0

-38х+16у+120=0

13х-16у+80=0

-25х = - 200

х = 8

13 8 -16у+80=0

104-16у+80=0

16у=184

у=11,5 т.В (8;11,5)

Для вершины D:

19х -8у +-160 = 0 / (-2)

13x - 16 y - 20 = 0

-38х + 16у +320 = 0

13x - 16 y - 20 = 0

-25х = - 300

х=12

13 12 - 16у-20 = 0

156 -16 у-20=0

16у - 136

у=8,5 т.D (12;8,5)

Координаты этих точек удовлетворяют ранее найденному уравнению 3х + 4у - 70 = 0 диагонали BD, что подтверждает их правильность.

Площадь ромба вычислим по формуле S = ? d1d2, где d1 и d2 - диагонали ромба.

Полагая d1 = |АС|, а d2 = |BD|, длины этих диагоналей найдем как расстояния между соответствующими противоположными вершинами ромба:

d1 =

d2 =

В итоге площадь ромба будет равна S = • 20 • 5 = 50 кв.ед.

Ответ:

АС: 4х - 3у - 10 = 0;

BD: 3х + 4у - 70= 0;

АВ: 19х -8у -60 = 0;

CD:19 х -8у - 160 = 0;

ВС: 13х -16у + 80 = 0;

AD: 13х -16у - 20=0;

В (8;11,5);

D (12; 8,5);

S = 50 кв.ед.

Задание 27

Найти предел

а)

Решение:

а) Функция, предел которой при х> 2 требуется найти, представляет собой частное двух функций. Однако применить теорему о пределе частного в данном случае нельзя, так как предел функции, стоящей в знаменателе, при х> 2 равен нулю.

Преобразуем данную функцию, умножив числитель и знаменатель дроби, находящейся под знаком предела, на выражение , сопряженное знаменателю. Параллельно разложим квадратный трехчлен в числителе на линейные множители:

===

==

2 х 2 - 3 х - 2=0

D=3 2 -42(-2)=9+16=25

х1 == =2;

х2 = == -

==

===12,5

Ответ: 12,5

б)

Умножим числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, на выражение, сопряженное к знаменателю:

==

=

==

+=

Найдем каждый сомножитель.

====

+)=(=1+1=2.

Предел есть первый замечательный предел.

Таким образом.

после замены t=3x будет равен =3

Аналогично =5

Получим

=

1

В итоге получим:

Ответ:

в)

Преобразуем основание данной функции:

Ведем новую переменную t= , тогда

t (4x-1) = 2

4xt - t = 2

4xt =2 + t

x=

x=

Заметим, что предел функции t при x > ? равен нулю т.е t > 0 при x > ?. Следовательно

===

=

Воспользуемся теоремой о пределе произведения, следс...

Похожие файлы
Зубков В.Г., Ляховский В.А., Мартыненко А.И., Миносцев В.Б.
Шестаков А.А., Малышева И.А., Полозков Д.П.